文章目录
  1. 1. 关于计数
    1. 1.1. 原始人怎么比较呢?
    2. 1.2. 集合的基数
    3. 1.3. 可数集合
  2. 2. 零级无穷大 - 整数个数
    1. 2.1. 什么是无穷大?
    2. 2.2. 建立有理数到自然数的一一对应
  3. 3. 一级无穷大 - 实数个数
  4. 4. 二级无穷大
  5. 5. 小结
    1. 5.1. 三类无穷大的关系
    2. 5.2. 参考文档

本文从原理上探讨集合的基数,以及无穷大的分类依据。

关于计数

据考古证据显示,原始非洲部落的人对超过3的数是数不清楚的。就是说如果一个人他有4个儿子,他只会说有很多儿子,而不是4个。

虽然原始人不会计数,但当数目比较多时,他们可以判断一个东西的个数是否比另一个东西多。而这条能被原始人理解使用的简单原理也是理解几类无穷大的关键。

原始人怎么比较呢?

假设有一堆珠宝和一堆石头,要比较那一堆数目多,只需要每次从珠宝和石头中各拿出来一个,放到其他地方,一直拿,最终会有三种情况:

  1. 珠宝拿完了剩下了石头;
  2. 石头拿完了剩下了珠宝;
  3. 珠宝和石头同时都没有了。
    显然,第一种情况石头比珠宝多,第二种情况珠宝比石头多,第三种情况珠宝石头一样多。

集合的基数

集合A和集合B有相同的基数,当且仅当存在从A到B的一一对应。
什么是一一对应呢?如果你不知道,那高中数学的函数那一章你不可能及格。假设上面的珠宝集合是A,石头集合是B,

  • 每拿掉一块珠宝,必须拿掉且仅拿掉一块石头;
  • 拿掉的珠宝和石头不能重新放进去;
  • 珠宝拿完以后,石头也恰好拿完。
    满足上面三个条件,就可以称A-> B存在一个一一对应 (也称为 一一映射)。

可数集合

有限集合以及与自然数集合基数相同的集合都称为可数集合,其他的集合均是不可数集合。

可数集合包括第一类基数无穷大集合 - 零级无穷大。

零级无穷大 - 整数个数

什么是无穷大?

∞,infinity.简单的说,就是你比任何一个数都大。其实无穷大也是一个数,但你写不出来,它大到什么程度呢?想象一下地球上所有沙子的数目,无穷大比它要大,再大一点,地球上所有原子的数目,无穷大比它还要大。

既然无穷大比任何数都大,那它和自己相比呢?是什么情况。我们知道,所有整数的个数是无穷大,所有偶数的个数也是无穷大,但整数包含奇数和偶数,那你觉得是整数多还是偶数多?如果你不加思索仅凭直觉,你可能会认为整数比偶数多,毕竟整数还包含奇数。

正确答案是:整数和偶数一样多。 为什么?
比较两个无穷大是否相等,关键看它们之间能否建立一个一一对应。
我们学一学非洲原始人吧,把整数和偶数分成两堆。从偶数里面拿掉2,相应的从整数里面拿掉1;从偶数里面拿掉4,相应的从整数里面拿掉2;…;从偶数里面拿掉n,从整数里面拿掉n/2…只要你从偶数里面拿掉任何一个,总是能从整数里面也拿掉一个,就是它除以2;相反,你从整数里面拿掉任意一个数m,对应的总是可以从偶数里面也拿掉一个数,就是2m。这样,所有整数和所有偶数就建立了一个对应一一对应关系,不重复不遗漏,所以这两个集合的基数相同。

建立有理数到自然数的一一对应

把所有有理数写成最简分数的形式,根据分子和分母的值把它们排列成二维的阵列,然后从1/1出发沿对角线方向蛇形遍历所有的数。第i个遍历到的数与自然数i对应,正有理数集与正整数集也就有了一一对应的关系。我们也可以把正有理数扩展到全体有理数。
有理数与自然数一一对应示意图

一级无穷大 - 实数个数

问:一条长度为1的线段上面的点数与整数个数那个大?
我们试着建立一个整数到点的一一对应:线段上的每一个点都可以表示为点到端点的距离,它是一个小数,比如0.72134355451…假设我们找到了一个一一对应,它是这样的:
任意假定的整数到实数的一一对应
看到这个映射以后,我们还可以写出无穷多个不在这个表格里面的小数,怎么写呢?让这个小数的第一个小数位不同于表中第一个小数的第一个小数位,让它的第二个小数位不同于表中第二个小数的第二个小数位,…,例如,可以写出下面的小数:
找出一个不在上述映射表中的实数
这个数无论如何在上表中是找不到的。这样一一对应就建立不起来。所以这条线段上的点数比整数的个数还要多得多。这就是两类不同的无穷大。

那么,长度为1的线段和长度为2的线段,谁的点多呢?这就跟整数与偶数的比较一样,是一样多的。一一对应很简单:x-> 2x。实际上,不管线段多长,它与长度为1的线段可以建立下面的投影关系:
长度不同的线段建立一一对应

长度为1的线段与边长为1的正方形的点数是一样多的吗?是的:
边长为1的正方形与长度为1的线段建立一一对应

同样的,立方体内所有的点数和正 方形或线段上的所有点数相等,只要把代表线段上一个点的无穷小数分作三部分:
边长为1的立方体与长度为1的线段建立一一对应

二级无穷大

上面两种,分别称为0级和1级无穷大。那有没有比线段上的点还要多的无穷大呢?有,那就是所有曲线的数目,称为2级无穷大。目前只发现这三类无穷大(意思是可以被描述和表达出来的)。

有没有比三类无穷大都大的无穷大?
有,见下文;
三类无穷的夹层中间有没有其他无穷大?
不存在。

小结

  • 零级无穷大:所有整数的数量
  • 一级无穷大:所有小数的数量(等于上面提及的线上所有的点数、面上所有的点数、立方体上所有的点数)
  • 二级无穷大:在一张纸上随意地画线条,所有可能画出的线条数目(曲线样式的数目)

零级无穷大 < 一级无穷大 < 二级无穷大

三类无穷大的关系

可以证明:任何一个集合的所有子集所形成的集合的大小比原集合大。

最大的无穷大是多大呢?
答案是没有尽头。

事实上,[0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合建立一一对应。

把这些实数写成二进制。小数点后第n位为1,对应n在子集中,为0对应不在子集中,这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应,因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。

也可以证明前面所说曲线可以和实数集的所有子集有一一对应关系。
我们把前面说所曲线看成一个集合,他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去,得到越来越大的无穷大。
  另外还有一个问题,整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说,是否存在比整数的无穷大大,而比实数的无穷大小的无穷大。(连续统假设)
在现有集合公理下面,至今无法证明或证伪。

参考文档

无穷大 - 百度百科
无穷 - 维基百科
《从1到无穷大-科学中的事实与臆测》

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    2. 1.2. 集合的基数
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  2. 2. 零级无穷大 - 整数个数
    1. 2.1. 什么是无穷大?
    2. 2.2. 建立有理数到自然数的一一对应
  3. 3. 一级无穷大 - 实数个数
  4. 4. 二级无穷大
  5. 5. 小结
    1. 5.1. 三类无穷大的关系
    2. 5.2. 参考文档